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Durata: 1ora (prima fase) e 45 minuti (seconda fase, da ripetere frequentemente)

Materiali:

Preparazione e Consegna
L'insegnante mostra agli studenti la tabella (attaccata al muro o sotto la lavagna, ad un’altezza a cui gli studenti arrivano), con i rettangoli a parte, così come riportata nella seguente figura:

FASE 1
Si chiede ai bambini, a turno, di trovare le “case” dei vari rettangoli, con richieste del tipo seguente [vengono distribuiti alcuni rettangoli ai bambini]:

Dopo aver sistemato tutti i rettangoli sulla tabellona, si propone un momento di riflessione generale con domande come:

FASE 2
In questa fase si cerca di aiutare i bambini a prendere dimestichezza con i rettangoli nella tabellona, e con strategie utili per riflettere sulle loro posizioni reciproche. Si cominciano a chiamare i rettangoli con i nomi delle moltiplicazioni che possono rappresentare. Alcune tipologie di domande da chiedere sono:

FASE 3
In questa fase si propone di condividere e raccogliere per iscritto le strategie proposte nella classe per affrontare le diverse tipologie di domande sulla tabellona pitagorica geometrica.

Che cosa aspettarsi
Nella prima fase i bambini esplorano la tabellona, spesso usando espressioni personalizzate e affettive quando parlano dei rettangoli o della tabellona. In alcune classi i rettangoli sono diventati “Mr. Rettangolo” e la tabellona il posto che conteneva “le case dei Mr. Rettangolo”. In un’altra classe i rettangoli erano “palazzi” con una “larghezza” e una “altezza” e i quadrati di cui erano composti “gli appartamenti”. È importante che le espressioni che si decide di condividere e usare in classe siano coerenti con la rappresentazione della moltiplicazione che si vuole mediare.

Nella seconda fase emergeranno diverse strategie dei bambini. Per rispondere alle domande:
a-b) alcuni bambini potrebbero mostrare come “ruotare” un rettangolo per ottenere l’altro (questa idea verrà ripresa e formalizzata nell’attività “per ricordare meno: la simmetria”);
c-f) potranno esplicitare strategie con cui riescono a trovare il numero di quadretti di cui è fatto un certo rettangolo, e poi inventare strategie come scorrere una riga o colonna della dimensione data, alla ricerca della seconda dimensione. Queste domande consentono all’insegnante eventualmente di introdurre moltiplicazioni in riga “bucate” e divisioni;
g-h) troveranno strategie per passare da un rettangolo al suo successivo (andando verso l’alto o da sinistra a destra) calcolando i quadretti totali dei rettangoli. Potranno ripetere espressioni del tipo “3 più 3, 6, più 3, 9, più 3…” o “due per uno, due; due per due, quattro; due per tre, sei…” segnando con il dito ogni rettangolo considerato. Alcuni bambini potrebbero anche recitare sequenze di multipli successivi senza guardare il diagramma (in questo caso chiedere di esplicitare, per gli altri compagni, come fanno e che cosa vedono "in testa”). Questo tipo di attività verrà ripresa e messa in relazione con altre rappresentazioni dei multipli di un numero naturale nell’attività “multipli sulla linea dei numeri e con le cannucce”;
i-j) i bambini cercheranno rettangoli da sistemare all’interno del rettangolo rappresentate il prodotto di riferimento, per “coprirlo” senza sovrapposizioni. Dovranno essere aiutati, eventualmente, ad esplicitare con spiegazioni e scritture numeriche ciò che avranno pensato. Si noterà come l’uso della proprietà distributiva venga molto spontanea, pur non avendone nessuna conoscenza dichiarativa (che si può benissimo evitare di dare loro ora).

Infine, nella terza fase si condivideranno le strategie proposte dai vari bambini. Questo può essere fatto un po` ogni volta che si danno consegne tra quelle proposte nell’attività, e poi, durante un unico incontro, queste potranno essere raccolte per iscritto e “istituzionalizzate” con una trascrizione sul quaderno, perché possano essere riprese e ricordate anche successivamente.

Significati matematici che si vogliono costruire
Con questa attività si vuole favorire un’associazione dei prodotti entro il 10x10=100 con rappresentazioni significative e “manipolabili”, cioè che si prestano a processi di composizione e scomposizione. Tali processi coinvolgeranno implicitamente la proprietà distributiva (della moltiplicazione sull’addizione), che i bambini usano spontaneamente in modo corretto ed accurato.
Si gettano le basi, inoltre, per un’esplicitazione della proprietà commutativa della moltiplicazione che avverrà nel contesto delle trasformazioni del piano, in particolare della simmetria e/o della particolare rotazione di un angolo retto. Infatti, se ancora all’inizio di questa attività vale la convenzione di classe che “6x3” e “3x6” sono rappresentati da diversi rettangoli (o dallo stesso ma orientato in modi diversi), si passerà alla scoperta che hanno lo stesso significato rispetto al numero totale di quadretti di cui sono composti, proprio perché possono essere trasformati l’uno nell’altro.
È possibile inoltre arrivare a scrivere moltiplicazioni in riga, in cui manca il prodotto oppure uno dei fattori. Queste situazioni potranno anche essere rappresentate come divisioni. Infatti, le domande c-f toccano “variazioni” della moltiplicazione ed il suo “inverso”, la divisione. Mancano, invece, in questa attività altri significati della divisione (per esempio la sua concezione come “processo di distribuzione equa” di un numero di oggetti), ma il simbolo “:” può essere già introdotto se si sceglie di rappresentare le domande anche in linguaggio numerico.
Infine, si propone una prima rappresentazione della nozione di multipli di un numero naturale, favorita dalle domande g e h.

Come costruire i significati matematici
Per esempi della realizzazione della prima fase si vedano i filmati:

	In questo filmato si vede come il bambino abbia difficoltà a "leggere" il diagramma-rettangolo 2 per 6 volte. Poi, ha anche difficoltà a collocarlo sulla tavolona.
	Il bambino ha "letto" correttamente il diagramma-rettangolo 2 per 9 volte e lo colloca subito nella colonna corretta. Ha bisogno poi di aggiustare la riga: da quella dell'8 passa a quella del 9.
	In questo filmato si vede come la bambina, che ha "letto" correttamente il rettangolo 3 per 6 volte, abbia difficoltà a collocarlo sulla tavolona. Trova un rettangolo sulla tavolona che ha la larghezza corretta, ma poi ha bisogno di essere aiutata a riflettere su come cambiano i rettangoli di quella colonna, e per approssimazioni successive trova il posto del suo rettangolo. Il diagrammma-rettangolo successivo che deve attaccare è 1 per 6 volte, che legge come "il sei". A questo punto va subito a cercare nella colonna corretta, e forse è aiutata dal simbolo "6" che vede subito a sinistra della riga corrispondente.
	In questo filmato il bambino "legge" correttamente il diagramma-rettangolo 2 per 7 volte e lo colloca velocemente al suo posto sulla tavolona. Ha qualche difficoltà a spiegare come ha fatto, e risponde alla domanda indicando soltanto il "7" senza riferirsi alla colonna della larghezza desiderata, che ha dovuto guardare per cominciare a cercare nel posto giusto.
	Qui il bambino ha "letto" correttamente il diagramma-rettangolo 3 per 7 volte e lo colloca rapidamente al suo posto sulla tavolona. Quando gli viene chiesto di spiegare come ha fatto, il bambino si riferisce subito all'altezza 7 e poi indica come ha contato in avanti le colonne: "uno, due, tre".
	In questo filmato i bambini spiegano le loro strategie per posizionare i diagrammi-rettangolo sulla tavolona geometrica.

Altre schede-esempio e possibili Compiti
Molta ripetizione delle domande della seconda fase per automatizzazione con strategie visive